Большая советская энциклопедия - нормальная

(жорданова) форма матриц Нормальная (жорданова) форма матриц. С каждой квадратной матрицей связан целый класс матриц, подобных матрице А. В этом классе всегда существует матрица, имеющая специальную нормальную (или каноническую) жорданову форму термин «Н. (ж.) ф. м.» связан с именем К. Жордана. На схеме показана жорданова форма некоторой матрицы 8-го порядка: (1) Вдоль главной диагонали расположены специальные квадратные клетки (на схеме они обведены пунктиром). Все элементы матрицы, расположенные вне этих клеток, равны нулю. В каждой диагональной клетке вдоль главной диагонали повторяется одно и то же (комплексное) число (в первой клетке l1, во второй l2 и т.д.); параллельный ряд над главной диагональю состоит из единиц. Все же остальные элементы в диагональных клетках равны нулю. На приведенной схеме имеются три диагональные клетки, из которых первая имеет порядок 4, вторая и третья — порядок 2. В общем же случае число клеток и порядки их могут быть любыми. Среди чисел l1, l2,... возможны и равные. Исходная матрица А в указанном примере имеет следующие элементарные делители: (l — l1)4, (l — l2)2, (l — l3)2. По элементарным делителям матрицы однозначно определяется ее жорданова форма. Если матрица А имеет жорданову форму I, то существует неособенная матрица Т такая, что А = TIT-1. Замену матрицы А подобной ей матрицей I называют приведением матрицы А к нормальной жордановой форме. Представление о применениях жордановой формы матрицы можно получить на примере системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: ………………………………………. в матричной записи: Введем новые неизвестные функции y1, у2,... yn при помощи неособенной матрицы ik - числа (i, k = 1, 2, …, n): , , ……………………………………. ; в матричной записи: х = Ту. Подставляя это выражение для x в (2), получим: где матрица I связана с матрицей А равенством: А=TIT-1. Обычно матрицу Т подбирают так, чтобы матрица А имела жорданову форму. В этом случае система уравнений (3) значительно проще системы (2). Так, например, при n = 8, если матрица имеет жорданову форму (1), то система (3) будет иметь вид: , , , , , , , . Интегрирование такой системы сводится к многократному интегрированию одного дифференциального уравнения. Лит. см. при ст. Матрица.